Научно -исследовательские работы

ИСТОРИЯ  ЧИСЛА  «ПИ»

Муниципальное   образовательное  учреждение  средняя  общеобразовательная  школа  села  Волчий Враг  Тамалинского  района  Пензенской  области

Авторы: Анашина Зинаида Алексеевна,

                         учащаяся  8  класса

Научный  руководитель: Ходакова Ольга

                                                        Николаевна,  учитель  математики

                                             История числа π, выражающего отношение длины  окружности к  ее диаметру, началась  в Древнем Египте. В  то время число π считали равным дроби (16/9)² или 256/81 . т.е. π=3,160…

 В священной  книге джайнизма имеется  указание, что число  π  в  то время принимали равным  √10 =3,162… Древние  греки Евдокс, Гиппократ и другие измерение окружности сводили к построению  отрезка, измерение круга – к построению  равновеликого квадрата.

Архимед в 111 веке до нашей эры обосновал в своей работе «Измерение  круга» три положения:

1.      Всякий  круг равновелик  прямоугольному треугольнику, катеты, которого соответственно равны  длине  окружности и  ее радиусу;

2.      Площади  круга  относятся  к  квадрату,  построенному  на  диаметре, как  11 к  14.

3.      Отношение  любой окружности к  ее диаметру  меньше 31/7  и  больше 3  10/71

 Последнее предложение  Архимед обосновал   последовательным вычислением периметров правильных вписанных  и  описанных многоугольников  при удвоении числа  их  сторон. Сначала он удвоил  число сторон  правильных  описанного и описанного шестиугольника , затем двенадцатиугольника  и т.д., доведя вычисления до периметров правильного вписанного и описанного 96-угольников .По точным расчетам Архимеда отношение окружности к  диаметру π=3,1419…

 В 5 веке до н.э. китайским  математиком Цзу Чунчжи  было найдено более точное значение этого числа 3,1415927…

В  первой  половине 15 века возле Самарканда астроном и математик ал-Каши вычислил π с 16  десятичными знаками. Он произвел уникальные расчеты, которые в дальнейшем использовались при составлении таблиц синусов.

 Спустя полтора столетия в Европе Ф.Виет нашел число π только с 9-ю правильными десятичными знаками, сделав 16 удвоений числа сторон многоугольников.

Только через 250 лет после ал-Каши его результат был превзойден английским математиком У.Джонсоном  в1706г. В качестве символа он взял первую  букву  греческого слова «periferia», что в переводе  означает «окружность»

Лудольф  ван  Цейлен  в 17 веке выслил число π с 20-ю десятичными знаками , используя метод Архимеда .Изложив свои результаты  в  сочинении «Об окружности» , Лудольф закончил его словами: «У кого есть  охота , пусть идет дальше».он завещал, чтобы найденные им знаки были высечены на его надгробном камне.

В конце 18 века А.Лажандр на  основе работ И.Ламберта доказал, что число π иррационально. Затем Ф.Линдеман , опираясь на исследования Ш.Эрмита . нашел строгое доказательство того , что это число не только иррационально , но и трансцендентно, т.е. не может быть  корнем  алгебраического уравнения . Из последнего следует  , что с  помощью только циркуля  и  линейки построить отрезок, равный  по длине  окружности , невозможно.

В 1873 году англичанин  В.Шенкс  потратил  15 лет  и вычислил  707 знаков  , правда, начиная с 527 , они оказались ошибочными. Ошибку Шенкса  обнаружил  один из первых компьютеров в 1948 году. Он же за несколько часов подсчитал 808  знаков π.

В  настоящее время для  вычисления  π  используются аналитические  методы , основанные  на  тождествах. Перечисленные  выше  формулы  малопригодны  для  вычислительных целей. Поскольку либо используют  медленно сходящие  ряды  ,либо требуют сложной  операции извлечения квадратного  корня.

IV. Случайности и закономерности, связанные с числом π.

С числом π связано много случайностей и закономерностей. Анализ единиц измерения длины и изменения ускорения свободного падения g от места к месту на земном шаре выявил удивительное равенство

π ² ≈ 9,8596

С цепями мы встречаемся повсюду: якорная цепь, велосипедная, цепочка на шее девушки и собаки. Хотя эти цепи и не похожи друг на друга, принцип один: каждое звено цепляется за предыдущее. Если поднять цепочку за концы, не натягивая, то она вытянется по некоторой кривой, называемой «цепной линией».

Знание формулы цепной линии необходимо для расчета провисания линий электропередач, т.к. провода между опорами также имеют форму цепной линии. Вспомним, про цепные мосты, настилы которых подвешены на цепях, например, Крымский мост в Москве.

Принцип «цепляния» последующего элемента за предыдущий часто встречается в математике, например, в цепных дробях. Всякую положительную дробь можно записывать, и притом единственным образом, в виде натуральные числа, а₀ – целое неотрицательное число.

Например,  22\7=3+1\7=3,142857;   355\113=3+1\7+1\16=3,141593.

Приведенные цепные дроби получены «обрыванием» цепной дроби для числа π.

V. Вездесущность числа π.

Кандидат географических наук В. Пиотровский установил, что все структуры земного рельефа от мелких до гигантских связаны между собой через число π (три с небольшим) Пиотровский считает, что Земля и окружающий космос построены на основании одного закона: в основе которого лежат волновые процессы. Этот закон можно назвать законом числа π.

Акустика привлекла внимание ученого благодаря необходимости знаний геометрии. Анализируя контуры знаменитых скрипок Амати,  Страдивари ,  

он установил, что можно выделить некий объем воздуха в корпусе скрипки. Этот «шар» ровно 3 раза укладывается в двух резонаторах инструмента. Это оказалось верно для скрипок всех  мастеров. Конструкция скрипки, старые мастера делали их не меньше и не больше определенного размера: посредине «эталонный» объем и три таких объема вправо и влево. Опять три! Может быть 3,14?

При изучении архитектуры церкви В. Пиотровский обнаружил, что объем купола храма в 3 раза укладывается во всем объеме храма . Самые звучные и певучие колокола отлиты русскими мастерами. Профиль контура русского колокола (рисунок) имеет вид равнобедренного треугольника. Пока по величине предполагают, что углы колокола близки по величине к радиану. А это – окружность, деленная на 2. И опять появляется это магическое число!

Метод  иглы  Бюффона  ( "падающей иголки” )

На разлинованную равноудаленными прямыми плоскость произвольно бросается  игла, длина которой  равна расстоянию  между  соседними прямыми, так , что  при каждом бросании игла либо не пересекает прямые, либо пересекает одну. Доказывается , что отношение числа пересечений  иглы с какой-нибудь линией к общему числу  бросков  стремится к 2/π при увеличении числа  бросков до бесконечности. Данный метод лежит в  основе метода Монте-Карло.

Возьмем обыкновенную швейную иголку и лист бумаги. На листе проведем несколько параллельных прямых так, чтобы расстояния между ними были равны и превышали длину иголки. Чертеж должен быть достаточно большим, чтобы случайно брошенная игла не упала за его пределами.

 Введем обозначения: а- расстояние между прямыми, l – длина иглы.

 Положение случайным образом брошенной на чертеж иглы (см. рис. 3) определяется расстоянием Х от ее середины до ближайшей прямой и углом j  которой игла образует с перпендикуляром, опущенным из середины иглы на ближайшую прямую (см. рис. 4). Ясно, что

 На рис. 5 изобразим графически функцию y=0,5 cos  . Всевозможные расположения иглы характеризуются точками с координатами ( ; у ) , расположенными на участке ABCD. Закрашенный участок AED – это точки, которые соответствуют случаю пересечения иглы с прямой. Вероятность события a – "игла пересекла прямую” – вычисляется по формуле:

 Вероятность p(a) можно приблизительно определить многократным бросанием иглы. Пусть иглу бросали на чертеж c раз и p раз она упала, пересекая одну из прямых, тогда при достаточно большом  c имеем 

2 /π= p / c. Отсюда π = 2с/р

В  нашем случае  с=60, р=36 т.е.  π=2*60/36=3,333..

Замечание. Изложенный метод представляет собой вариацию метода статистических испытаний. Он интересен с дидактической точки зрения, так как помогает совместить простой опыт с составлением довольно сложной математической модели

Простейшее измерение

 Начертим на плотном картоне окружность диаметра d =15 см, вырежем получившийся круг и обмотаем вокруг него тонкую нить. Измерив длину 

С =46,5 см одного полного оборота нити, разделим С  на длину диаметра d окружности. Получившееся частное будет приближенным значением числаπ, т. е. π= С / d = 46,5 см / 15 см = 3,1.

2)d=10,8 см ,С=34,5 см,т.е. π= С / d =34,5см/10,8см=3,2

3) d=5,2 см,С=17 см, т.е. π= С / d =17 см/5,2см=3,2

  Данный довольно грубый способ дает в обычных условиях приближенное значение числа π с точностью до 1.

Измерение с помощью взвешивания

На листе картона начертим квадрат. Впишем в него круг. Вырежем квадрат. Определим массу картонного квадрата с помощью школьных весов.

 Вырежем из квадрата круг. Взвесим и его. 

 Зная массы квадрата mкв (=10 г) и вписанного в него круга mкр (=7,8 г) воспользуемся формулами

где p и h –соответственно плотность и толщина картона, S – площадь фигуры. Рассмотрим равенства:

Отсюда

      2) π=4 mкр/mкв=4*5|6,7=3,01

      3) π=4 mкр/mкв=4*7,2|9,6=3,00

 Естественно, что в данном случае приближенное значение π зависит от точности взвешивания. Если взвешиваемые картонные фигуры будут довольно большими, то возможно даже на обычных весах получить такие значения масс, которые обеспечат приближение числа π  с точностью до 0,1.

 Мнемонические  правила

У наших предков не было компьютеров, калькуляторов и справочников, но со времен Петра I они занимались геометрическими расчетами в астрономии, в машиностроении, в корабельном деле. Впоследствии сюда добавилась электротехника - там есть понятие "круговой частоты переменного тока". Для запоминания числа "Пи" было придумано двустишие (к сожалению, мы не знаем автора и места первой публикации его; но еще в конце 40-х годов двадцатого века московские школьники занимались по учебнику геометрии Киселева, где оно приводилось).

1.Чтобы нам не ошибиться ,

    Надо правильно прочесть:

   Три, четырнадцать, пятнадцать,

   Девяносто два и шесть.

   Надо только постараться

   И запомнить все как есть:

   Три, четырнадцать ,пятнадцать,

   Девяносто два и шесть.

  Три, четырнадцать, пятнадцать

   Девять, два, шесть, пять, три, пять.

   Чтоб наукой  заниматься,

   Это каждый должен знать.

2.Подсчитайте  количество  букв в каждом слове в  нижеприведенных  фразах(без учета знаков препинания) и запишите  эти  цифры  подряд – не  забывая  про  десятичную запятую  после первой цифрой  «3» , разумеется. Получится приближенное  число ПИ.

-Это я  знаю и помню  прекрасно: Пи многие знаки мне лишни , напрасны.

-Кто и шутя, и скоро пожелаетъ Пи узнать число – ужъ  знаетъ!

( во втором случае- дореформенная орфография)

В наши дни с помощью ЭВМ число π вычислено с точностью до миллиона знаков, что представляет скорее технический, чем научный интерес, потому что такая точность никому не нужна. Десяти знаков числа π (π = 3,141592653…) вполне достаточно для всех практических целей.